Sep 1, 2007

Knowledge "ตกท้องช้าง" ฟิสิกส์ใกล้ตัวที่หลายคนมองข้าม

ท่องเว็บมาได้นานพอสมควร
เห็นว่าไม่ค่อยมีใครเขียนเรื่องแนวนี้
ก็รู้สึกน่าเสียดายเหมือนกันนะครับ

เลยคิดว่า ถ้าเราไม่ลงมือเขียนเอง
ไม่ต้องรอให้คนอื่นมาเขียนให้อ่าน
แม้จะผิดบ้างถูกบ้าง แต่ก็ยังดี

คิดได้ก็งัดเอาความรู้ที่ผมเคยผจญภัย
เอามาเขียนลงให้ทุกๆ คนอ่านกันครับ
บางเรื่องก็ง่าย บางเรื่องก็ยาก
จะพยายามเขียนให้อ่านรู้เรื่องนะครับ ^^"

ยังไงก็ขอฝากผลงานใหม่ด้วยนะครับ
(เฮ้ย! ของเก่าก็เลิกดองซักทีเซ่)

ต้นตอของเรื่องนี้เกิดจากสายไฟครับ
สายที่ถูกแขวนระหว่างเสาไฟนั่นแหละ
ปรกติผมก็ไม่ได้สนใจมันหรอกครับ
เพราะมันขึงไว้เกือบตึง ไม่สะดุดตา

แต่วันนั้นช่างไฟเขามาขึงสายไฟใหม่
ผมก็ดูเขาขึงสาย แล้วก็คิดเรื่อยเปื่อย
อึ่ม ทำไมมันย้อยเป็นรูปสวยงามจัง
เหมือนกันรูปพาราโบลาที่เคยเรียนเลย

(ตอนที่เห็นนั้นผมก็ไม่รู้หรอกครับ
ว่ารูปร่างเชือกนี้มีชื่อเรียกอย่างไร
เลยหาบทพิสูจน์เอาในเน็ตไม่เจอ
กว่าจะรู้ก็หลังจากนั้นได้ปีนึงเลย)

พอว่างๆ ก็ลองเขียนๆ สมการเล่น
ได้ว่ารูปร่างเส้นเชือกที่ตกท้องช้าง
แปรผันกับการปริพันธ์ของสมการ
ความแตกต่างของมวลซ้ายกับขวา

ซึ่งสมการความแตกต่างของมวลเชือก
โดยทั่วไปนั้น เป็นสมการเส้นตรง
พอปริพันธ์ ก็จะได้สมการกำลังสอง

สมการรูปร่างเส้นเชือกที่ผมคิดไว้

y = kx2
k = อะไรก็จำไม่ได้แล้ว...
(สมการกำลังกสองธรรมด้าธรรมดา)

หลังจากกำหนดสมการเชือกได้แล้ว
ก็ทำการทดลองอีกนิดๆ หน่อยๆ
ผลการทดลองคือตรงเป็นส่วนใหญ่
จะคลาดเคลื่อนมากๆ ตรงท้องเชือก
ซึ่งผมก็ไม่ได้เอะใจอะไรมากนัก

แต่ก็ลองเอาไปถามดูในวิชาการ.คอม
ก็ได้พี่ GFK ช่วยคอมเมนต์และแก้ไขให้
จึงได้รู้ว่าที่จริง มันไม่ใช่รูปพาราโบลา
แต่เป็นคอสไฮเปอร์โบลาต่างหาก

จะพิสูจน์อย่างเร็วและย่อนะครับ
อ่านไม่รู้เรื่องก็อย่าโทษกันหละ...
(ผมยังอ่านไม่รู้เรื่องเลย)

สัญลักษณ์
μ คือ มวลของเชือกต่อหน่วยความยาว (ตามแนวเชือก)
T คือ แรงตึงเชือกที่ จุด (x,y) ใดๆ บนเส้นเชือก
T0 คือ แรงตึงเชือกที่ จุด (0,0)
s คือ ความยาวเชือกที่เริ่มวัดจากจุด (0,0) ไปยังจุด (x,y) บนเส้นเชือก

ก่อนอื่น จินตนาการรูปเชือกที่โดนแขวนนะครับ
(เพราะผมจะไม่วาดรูปให้ อิอิ)

สมดุลในแกน Y (ΣFy=0)
(T+ΔT)sin(θ+Δθ) = Tsinθ + μgΔs

คูณกระจายและแตกฟังก์ชันไซน์
แล้วจึงค่อยให้ Δθ มีค่าน้อยๆ
(cos(Δθ) ≈ 1 และ sin(Δθ) ≈ Δθ)
สมการนี้ก็จะกลายเป็น

T(Δθ)cosθ + (ΔT)sinθ + (ΔT)(Δθ)cosθ = μgΔs

เนื่องจาก (ΔT)(Δθ)cosθ มีค่าน้อยมาก
เมื่อเทียบกับ T(Δθ)cosθ และ (ΔT)sinθ
จึงไม่ต้องไปสนพจน์ (ΔT)(Δθ)cosθ
สมการจึงเหลือแค่

T(Δθ)cosθ + (ΔT)sinθ = μgΔs

จับ Δθ มาหารทั้งสมการ
แล้วเทคลิมิต Δθ→0 ก็จะได้

d/dθ(Tsinθ) = μg(ds/dθ)

ชี้แจงเกี่ยวกับการเขียนสัญลักษณ์อนุพันธ์
ผมชอบเขียนให้ d/dθ ชิดกันอย่างนี้
แล้วค่อยใส่ฟังก์ชันที่จะหาอนุพันธ์ด้านหลัง
ก็คือเขียนแบบนี้ d/dθ(..................)
(ไม่ชอบเขียนแบบนี้ d.............../dθ)
แต่ถ้ามีตัวแปรเดียวก็เขียน ds/dθ ครับ
หวังว่าคงไม่งงไปซะก่อนนะ...

แต่ Tcosθ = T0
และ tanθ = dy/dx
จึงได้ว่า

d/dθ(T0dy/dx) = μg(ds/dθ)

ได้แล้วก็เก็บไว้ก่อนนะ...

ต่อมาก็พิจรณาสมดุลในแกน X (ΣFx=0)
(T+ΔT)sin(θ+Δθ) = Tcosθ

สมการสั้นกว่าแนวแกน Y ตั้งเยอะเนาะ
ทำเหมือนเดิมเลยครับ คูณกระจาย
แตกฟังก์ชันไซน์ ให้ Δθ มีค่าน้อยๆ
ก็จะได้สมการใหม่เป็น

T(Δθ)sinθ + (ΔT)cosθ + (ΔT)(Δθ)sinθ = 0

กำจัดตัวที่มีค่าน้อยๆ คือกำจัด (ΔT)(Δθ)sinθ
เพราะเมื่อเทียบกับ T(Δθ)sinθ และ (ΔT)cosθ
แล้ว (ΔT)(Δθ)sinθ มีค่าน้อยจนไม่ต้องสน
สมการจึงเหลือแค่

T(Δθ)sinθ + (ΔT)cosθ = 0

หาร Δθ แล้วเทคลิมิต Δθ→0 ได้

d/dθ(Tcosθ) = 0

สมการนี้ชี้ว่า แรงตึงเชือกในแนวนอน
มีค่าเท่ากันตลอดทั้งเส้น และเนื่องจาก
Tcosθ = T0 (ยังจำได้มั้ย?)
จึงทำให้ d/dθ(T0dy/dx) = μg(ds/dθ) เป็น

T0d/dθ(dy/dx) = μg(ds/dθ)

ใช้กฎลูกโซ่เข้าช่วย และย้ายข้าง ได้

d2y/dx2 = (μg/T0)(ds/dx)

และจากสมการหาความยาวเส้นกราฟ
คือ ds/dx = sqrt(1+(dy/dx)2) จึงได้ว่า

d2y/dx2 = (μg/T0) * sqrt(1+(dy/dx)2)

ถึงตอนนี้ กำหนดให้ Y = dy/dx จะได้ว่า

dY/dx = (μg/T0) * sqrt(1+(Y)2)

แก้สมการนี้ด้วยการปริพันธ์
(ยาก+ยาว = ไม่พิมพ์ลงให้ละ อิอิ)
ท้ายที่สุด จะได้ออกมาว่า

y = (T0/μg)(cosh(μgx/T0)-1)

(อยากได้พิสูจน์ฉบับเต็ม เมลมาขอได้ครับ)

จัดรูปสมการให้สวยงาม ก็จะได้ว่า
สมการรูปร่างเส้นเชือก (x,y) คือ

y = k*(cosh(x/k)-1)
k = T0/μg

สำหรับฟังก์ชัน y = cosh(x)
เป็นหนึ่งในไฮเปอร์โบลิกฟังก์ชัน
ที่มีลักษณะคล้ายพาราโบลามาก
กำหนดโดยเอกซ์โพเนนเชียลดังนี้

cosh(x) = (ex + e-x)/2

ตอนแรกผมไม่ได้คิดถึง cosh(x) เลย
แต่พอได้อ่านพิสูจน์ใหม่ ก็เห็นด้วยครับ

และพอเทียบกับผลการทดลองที่มีอยู่
ก็พบว่าแทบไม่คลาดเคลื่อนเลยครับ

(อึ่ม... ไม่รู้จะจบยังไงแฮะ)
เอาเป็นว่า ขอจบตอนนี้เลยละกันครับ
หวังว่าจะได้รับความรู้ไปบ้างนะครับ ^^

อ้างอิง :
Meriam & Kraige , Engineering Mechanics (Statics) Fifth Edition , John Wiley