Jan 5, 2014

0!=1

สัญลักษณ์คณิตศาสตร์ที่น่าฉงนปนตกใจมากที่สุดคงหนีไม่พ้น factorial (!) และสิ่งที่น่าตกใจยิ่งกว่าคือคำตอบที่ว่า 0!=1 เมื่อถามต่อว่าทำไมก็จะได้รับคำตอบว่ามันเป็นนิยาม ซึ่งจริงๆ ก็ถูกต้องแล้วแหละ แต่หลายคนคงอยากให้มันมีความหมายที่ลึกซึ้งกว่านั้น

เมื่อลองพิจณานิยามพื้นฐานสุดของ factorial การจะได้มาซึ่ง n! นั้นคือการหาผลคูณจาก 1 ขึ้นไปเรื่อยๆ จนถึง n การหา 1! ได้จึงไม่แปลก เพราะมันคือผลคูณจาก 1 ไปจนถึง 1 (ซึ่งก็คือไม่ต้องคูณเลยซักตัว) แต่ถ้าคิดตามนิยามนี้ 0! ก็ไม่มีตัวตนเพราะว่า 1 มีค่ามากกว่า 0 (แล้วเราจะคูณขึ้นไปเรื่อยๆ ได้ยังไง!?) ตอนนี้ถ้าเราอยากให้ 0! มีค่าก็ต้องหาวิธีคำนวณ/นิยายามที่มีเหตุผลขึ้นมาเพื่อให้คนอื่นยอมรับค่านั้นๆ ... ซึ่งแน่นอนว่ามันไม่ใช่การเปลี่ยนนิยามข้างต้นเป็น n! คือผลคูณจาก 0 ขึ้นไปเรื่อยๆ จนถึง n แน่ :P



ความพยายามแรกที่จะหาคำตอบนี้ ก็คือการกล่าวถึง factorial ในรูปของ n!=n(n-1)! จะเห็นว่าสูตรนี้เป็น recursive การจะหาผลลัพท์ได้นั้น ต้องมองย้อนกลับไป 1 ขั้นเสมอ ในทำนองเดียวกัน ถ้าเรารู้ผลลัพท์ของขั้นตอนปัจจุบัน เราอาจจะสามารถย้อนกลับไปคำนวณผลลัพท์สำหรับขั้นตอนก่อนหน้าได้ ดังนั้น
5! = 120 = 5 * 4!
4! =  24 = 4 * 3!
3! =   6 = 3 * 2!
2! =   2 = 2 * 1!
1! =   1 = 1 * 0!
เลขตัวเดียวที่คูณหนึ่งแล้วยังได้หนึ่งก็คือหนึ่ง ดังนั้น 0!=1 อย่างไม่ต้องสงสัย...

ใครตอบมาอย่างนี้บอกได้เลยว่าเป็นนักคณิตศาสตร์เกรด C เพราะถ้าเราลองทำต่อไปจะได้ว่า
0! = 1 = 0 * (-1)!
แน่นอนว่าสมการนี้หาคำตอบไม่ได้ (เลขใดๆ คูณศูนย์ย่อมได้ศูนย์) แม้ว่าสมการข้างต้นจะทำงานได้ดีไม่มีผิดถ้าหาก n เป็นเลขจำนวนเต็มบวก แต่ก็ทำให้เกิดข้อสงสัยว่า ในเมื่อ 0! ไม่สามารถคำนวนมาได้จากฝั่ง 0!=0*(-1)! แล้วเราจะแน่ใจได้หรือ ว่าสมการข้างต้นนี้สามารถใช้ได้ตั้งแต่ n=1 จริงๆ (เพราะตอนนี้เรามั่นใจแค่ว่ามันใช้ได้ตั้งแต่ n=2)



ความพยายามต่อมาคือ gamma function ที่ให้สมการอินทิเกรตยากๆ มาอันนึง (ซึ่งแก้ออกได้ด้วยการทำอินทิเกรตแยกส่วน แล้วลดรูปกลับมาให้อยู่ในรูปเดิม) สมการนี้เมื่อหาค่าทุกจุดแล้วนำมาพล็อตกราฟ จะได้ภาพการลากเส้นโค้งเชื่อมจุดต่างๆ ของ factorial นั่นเอง กราฟนี้บอกเราว่า 0!=1 และ factorial ของจำนวนเต็มลบใดๆ หาค่าไม่ได้ ซึ่งไม่ขัดแย้งกับความพยายามก่อนหน้า


แม้ว่าความพยายามนี้จะเลิศเลอเพอร์เฟคแค่ไหนก็ตาม (ทั้งสมการยากๆ ที่ทำให้ดูเป็นมือโปร ทั้งการขยายขอบเขต factorial ให้ไปอยู่บนจำนวนจริงได้) แต่มันก็เกิดขึ้นหลังจากที่เรานิยามได้แล้วว่า 0!=1 ครับ



ความพยายามสุดท้าย คือการกลับไปยังต้นกำเนิดของการที่เราอยากนิยาม factorial มาใช้เพื่อความสะดวกในการเขียนและคำนวณ นั่นก็คือเรื่องของโอกาสและความน่าจะเป็น เช่นตัวอย่างที่ว่า ถ้ามีนักเรียน 5 คน จะจัดให้ยืนเรียงต่อแถวกันได้ทั้งหมดกี่แบบ เราก็จะตอบได้ว่า คนแรกเลือกที่ยืนได้ 5 ที่ คูณกับคนที่สองเลือกยืนได้ 4 ที่ (เพราะคนแรกจองไปที่นึงแล้ว) คูณกับคนต่อมามีที่ยืนแค่ 3 ที่ (สองคนแรกจองไปสองที่) ... เมื่อคิดอย่างนี้ต่อไปเรื่อยๆ เราจะเห็นได้ว่ามันย้อนกลับไปหานิยามตั้งต้นของ factorial นั่นเอง

แล้วถ้านักเรียนเหลือแค่คนเดียวหละ? เราก็จะได้ว่ามีวิธีเดียวที่จะยืน คือยืนอยู่คนเดียวให้เปล่าเปลี่ยวหัวใจเล่น ไม่มีใครมายืนนำหน้าหรือต่อแถวข้างหลัง

ส่วนที่ยากก็คือว่าถ้าไม่มีนักเรียนเหลือซักคนเลย?? คำตอบนี้อาจดูแปลก เพราะมันคือการลอกคำตอบข้างบนมาตอบในทำนองเดียวกันว่ามีวิธีเดียวที่จะยืน คือไม่ต้องมีนักเรียนยืนเลยซักคนนั่นเอง

ความพยายามนี้แม้แลดูเป็นปรัชญาอันสูงส่งเข้าใจยาก (ที่พยายามบอกเป็นนัยเชิงปฏิทรรศน์ว่า ความว่างเปล่าแท้จริงแล้วก็ยังไม่ว่าง) มันนับว่าเป็นการอธิบายที่ถูกต้องตรงจุดที่สุดในบรรดาความพยายามอธิบายที่ผ่านๆ มาเลยทีเดียว



ส่วนเรื่องจริงนั้นก็อย่างที่บอกแต่แรกสุดแล้ว ว่า 0!=1 มันเป็นนิยามนั่นแหละ

เหตุผลก็ไม่พิศดารอะไรเลย แค่การนิยามแบบนี้แล้วจะทำให้เขียนสมการง่ายขึ้นเท่านั้น ลองคิดดูว่าถ้าเราไม่นิยามแบบนี้จะเกิดอะไรขึ้น
  • สัมประสิทธิ์ทวินาม หรือที่หลายๆ คนคุ้นเคยในรูปของสามเหลี่ยมปาสคาลมากกว่า มันมีสูตรว่า
    (x+y)^n = sigma C(n,k) x^(n-k)y^k for k from 0 to n
    
    ซึ่งถ้าไม่ได้นิยาม factorial ตามข้างต้น ก็ต้องเปลี่ยนสูตรนี้ใหม่เป็น
    (x+y)^n = x^k + (sigma C(n,k) x^(n-k)y^k for k from 1 to n-1) + y^k
    
  • นิยาม permutation กับ combination ต้องกลับไปเขียนข้อยกเว้นไว้ที่
    • C(n,0) (เลือกของ 0 ชิ้นจากของ n ชิ้นได้กี่วิธี) ซึ่งก็ยังเข้าใจได้เพราะการไม่เลือกของซักชิ้นเลยอาจเป็นข้อถกเถียง
    • C(n,n) (เลือกของ n ชิ้นจากของ n ชิ้นได้กี่วิธี) อันนี้เริ่มแปลกๆ แล้ว ทำไมเลือกของทุกชิ้นต้องมีข้อยกเว้นด้วยหละ?
  • การหาค่า e จากการกระจายเทย์เลอร์ จากเดิมที่เราสามารถสรุปสั้นๆ อย่างสวยงามได้ว่ามันคือ
    e = sigma 1/k! for k from 0 to infinity
    
    ก็จะกลายเป็นสมการหน้าเกลียดๆ ที่ไม่สามารถอธิบายได้ว่าเลข 1 ตัวแรกนั้นโผล่มาจากไหน/โผล่มาทำไม เช่นนี้
    e = 1 + (sigma 1/k! for k from 1 to infinity)
    
เพราะคณิตศาสตร์คือความสวยงามครับ :)