Mar 14, 2016

มองสมการแล้วรู้สึกเป็นยาขม มองให้เห็นเป็นภาพสิจะได้สนุก

ตอนอยู่ม.ปลาย NutSnC เคยให้หนังสือ Proof Without Words มา คือตอนนั้นเรามองว่าคณิตศาสตร์สนุกอยู่แล้ว แต่พอได้เล่มนี้มาอ่านยิ่งรู้สึกสนุกเข้าไปใหญ่ เลยคิดว่ามันน่าจะช่วยให้ใครที่คิดว่าคณิตศาสตร์ไม่สนุก รู้สึกสนุกไปกับมันได้บ้าง

แนวคิดง่ายๆ ของหนังสือคือโยนสมการที่มีแต่ตัวหนังสือยั๊วเยี๊ยะทิ้งไปเลย แล้วเปลี่ยนมาคิดมันด้วยสิ่งที่จับต้องได้มาขึ้นอย่างรูปภาพแทน



ตัวอย่างหนึ่งในหนังสือ เช่น ต้องการพิสูจน์อนุกรมจำนวนเต็ม

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2

ก็ให้คิดด้วยลูกแก้วแทน ลูกแก้วแถวแรกมี 1 ลูก แถวที่สองมี 2 ลูก ลงไปเรื่อยๆ จนแถวสุดท้ายที่มี n ลูก

ถ้าจัดตำแหน่งลูกแก้วอย่างสวยๆ จะได้ว่ามันเป็นรูปสามเหลี่ยมนั่นเอง ดังนั้นพอเอาสามเหลี่ยมสองชุดมาประกบกันก็จะได้สี่เหลี่ยม ซึ่งก็ง่ายแล้วเพราะตอนนี้แค่หาพื้นที่ก็ได้คำตอบ


แต่ลองให้ใช้สมการอย่างเดียวอธิบายดู จะพบกับความยาวเฟื้อยเช่นนี้

sum  i  for i=1 to n = 1 + 2 + 3 + ... + n
    2 sum  i  for i=1 to n = 2(1 + 2 + 3 + ... + n)
                           = (1 + 2 + 3 + ... + n) + (1 + 2 + 3 + ... + n)
                           = (1 + 2 + 3 + ... + n) + (n + ... + 3 + 2 + 1)
                           = (1+n) + (2+n-1) + (3+n-2) + ... + (n+1)
                           = (n+1) + (n+1) + (n+1) ... + (n+1)
                           = n(n+1)
      sum  i  for i=1 to n = n(n+1)/2

เทียบกันแล้ว การพิสูจน์ด้วยรูปภาพง่ายและสวยงามกว่ากันเยอะเลย



วิธีข้างต้นยังนำไปประยุกต์ใช้กับสมการอื่นๆ ได้อีกมากมาย เช่น

  • อนุกรมจำนวนเต็มคี่
  • อนุกรมจำนวนเต็มยกกำลังสอง
  • อนุกรมจำนวนเต็มยกกำลังสาม
  • อนุกรมเรขาคณิต

ฝากไว้เป็นการบ้านให้ลองกลับไปวาดรูปเล่นกันดูครับ :3